Il valore assoluto (o modulo) di un numero reale è uguale al numero stesso se il numero è positivo o nullo, è uguale all'opposto del numero se il numero è negativo.
Il simbolo del valore assoluto sono due barre verticali intorno all'argomento.
Nota. Due numeri opposti hanno sempre lo stesso valore assoluto.
Qualsiasi numero elevato al quadrato è un numero non negativo.
Dopo aver elevato al quadrato l'argomento del valore assoluto, l'argomento del modulo è un numero positivo o nullo.
Leggi anche: interferenza occlusale: guida completa al trattamento
Se elevo al quadrato entrambe le variabili ottengo |x2|=x2 e z2.
Una tipologia di equazioni che spesso viene assegnata come esercizio è quella delle equazioni con valore assoluto.
In questa lezione vedremo prima cosa significa davvero mettere in modulo (cioè nel valore assoluto) numeri ed espressioni arbitrarie.
Chiamiamo valore assoluto (o anche modulo) la funzione che si indica con $$| \ \bullet \ |: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ che ad un numero reale $a \neq 0$ associa $|a|$, che è $a$ stesso privato del segno (cioè, il valore positivo che si ottiene guardando “solo il numero” che rappresenta $a$).
Se $a = 2$, allora $|a| = |2| = 2$.
Leggi anche: posologia corretta del fluoro in gocce pediatrico
Consideriamo $a = -3$. Allora $|a| = |-3| = 3$.
Prendiamo $a = 4, b = -4$. Allora $|a| = |4|= 4$ e $|b| = |-4| = 4$.
Esiste un altro modo, che per qualcuno potrebbe risultare più intuitivo, di interpretare il modulo di un numero reale.
Vediamo quindi che a seconda del valore che scegliamo per $x$, possono accadere cose differenti all’argomento del valore assoluto di ciascuna espressione: a volte è positivo, altre negativo, oppure può diventare $0$.
Partiamo direttamente con un esercizio: prendiamo l’equazione: $$|4x^2-1| = 1+2x.$$
Leggi anche: livelli di fluoro nel sangue
Cosa dobbiamo fare? Niente panico: siamo di fronte ad una equazione contenente un valore assoluto, ma per quanto abbiamo fatto prima sappiamo come gestirlo.
In definitiva la nostra equazione è a tutti gli effetti equivalente (cioè ha le stesse soluzioni) all’unione delle soluzioni di due sistemi misti:$$\begin{cases} 4x^2-1 = 1+2x \\ x \leq -\frac{1}{2} \vee x \geq \frac{1}{2} \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} -4x^2+1 = 1+2x \\ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \end{cases}$$
Prendiamo il primo sistema. Le soluzioni dell’equazione di secondo grado $4x^2-1 = 1+2x$ sono $x= -\frac{1}{2} \vee x = 1$.
Entrambe rispettano la condizione $x \leq -\frac{1}{2} \vee x \geq \frac{1}{2}$ presente nel sistema: quindi sono entrambe soluzioni del sistema considerato.
Nel secondo sistema, abbiamo invece l’equazione $-4x^2+1 = 1+2x$.
Consideriamo un’equazione del tipo $|A(x)| = B(x)$, con $A(x), B(x)$ espressioni generiche che possono contenere $x$.
Caso particolare: il caso $|A(x)| = k$.
Nel caso in cui l’equazione con valore assoluto sia del tipo $|A(x)| = k$ con $k \in \mathbb{R}$ (ovvero, $B(x)$ è un numero), allora è possibile semplificare il metodo risolutivo.
A volte ci si trova di fronte a esercizi di questo tipo: $$|2x - 1| + |3-x| = 4x+4$$
Come possiamo procedere in questo caso?
Sicuramente la regola che abbiamo esposto prima non vale più, perché abbiamo a che fare con due valori assoluti diversi fra loro.
Sicuramente possiamo dire che: $$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & \ \text{se $2x-1 \geq 0$} \\ -(2x-1) & \ \text{se $2x-1 < 0$} \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ |2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & \ \text{se $x \geq \frac{1}{2}$} \\ -2x+1 & \ \text{se $x < \frac{1}{2}$} \end{cases} $$
e anche: $$|3-x| = \begin{cases} 3-x & \quad \text{se $3-x \geq 0$} \\ -(3-x) & \quad \text{se $3-x < 0$} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad |3-x| = \begin{cases} 3-x & \quad \text{se $x \leq 3$} \\ -3+x & \quad \text{se $x > 3 $} \end{cases}$$
A seconda del valore che assume $x$, quindi, accadono cose differenti per i due valori assoluti.
Caso particolare: le equazioni del tipo $|A(x)| = |B(x)|$.
Quando ci troviamo di fronte a un’equazione del tipo $|A(x)| = |B(x)|$, secondo quanto detto prima dovremmo procedere analizzando separatamente $|A(x)|$ e $|B(x)|$, per poi costruire e risolvere i sistemi associati all’equazione.
Facciamo un esempio. Consideriamo l’equazione $|x^2-12| = |x^2-2x|$.
Che cos'è il valore assoluto?
Il valore assoluto è un termine matematico che descrive la grandezza di un numero indipendentemente dal suo segno.
Viene comunemente utilizzato per misurare la distanza tra due punti su una retta numerica e può anche essere usato nelle equazioni per descrivere la differenza assoluta tra due numeri.
In informatica, può essere utilizzato per definire un punto di riferimento assoluto, che aiuta a organizzare i dati o i calcoli in modo ordinato.
Come funziona il valore assoluto?
Il valore assoluto funziona eliminando il segno negativo da un numero, in modo da poterlo confrontare con altri numeri in termini di grandezza.
Ad esempio, se si avessero due numeri - 10 e -10 - il valore assoluto li renderebbe entrambi "10", poiché si trovano esattamente a 10 sulla linea dei numeri, indipendentemente dai loro segni.
Il valore assoluto elimina la designazione da un numero, in modo che possa essere considerato con precisione rispetto ad altri senza pregiudizi di +/-.
Dove si usa il valore assoluto?
Il valore assoluto è utilizzato nei linguaggi di programmazione dei computer, come Python, per scrivere programmi per la manipolazione delle immagini e l'elaborazione del suono, dove è necessario misurare la distanza tra un valore e l'altro, senza tenere conto dei segni +/-.
Viene utilizzato anche nelle applicazioni finanziarie per calcolare i pagamenti dei prestiti o le conversioni di valuta, poiché è necessario sapere quanta differenza c'è tra due somme senza tenere conto del fatto che una è stata guadagnata e l'altra è stata spesa, ad esempio.
Come si calcola il valore assoluto?
Il calcolo dei valori assoluti dipende dal contesto in cui li si utilizza. In generale, è sufficiente rimuovere tutti i segni (positivi/negativi) dai valori dati e poi calcolare secondo le consuete regole matematiche, tenendo conto che tutti i risultati ottenuti devono rimanere non negativi.
In pratica, si tratta di sommare tutti i valori assoluti ottenuti dopo aver rimosso i segni laddove esistevano.
In che modo il valore assoluto è utile nel calcolo?
L'uso dei valori assoluti aiuta i computer a elaborare le informazioni in modo più efficiente, fornendo loro riferimenti espliciti che non cambiano a prescindere dall'ordine in cui i dati appaiono.
In questo modo è più facile implementare algoritmi come le tecniche di ordinamento che richiedono il confronto tra insiemi di dati originariamente disposti in modo diverso, pur continuando a calcolare con precisione i risultati, indipendentemente da quanto disorganizzato possa apparire l'insieme originale a un essere umano.
Qual è la differenza tra valore assoluto e modulo?
Una grande differenza tra i valori assoluti e il modulo sta nelle limitazioni dell'intervallo di valori insite in ciascuna tecnica di calcolo. Mentre il modulo limiterà sempre l'intervallo del risultato finale, indipendentemente dalle condizioni iniziali, i valori assoluti non imporranno tali limitazioni, consentendo di ottenere risultati al di fuori dell’intervallo previsto.
tags: #significato #e #utilizzo #valori #assoluti #incapsulati
